https://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm

• editor::

• what:: A model for [[time series]]

• input:: 数据

• output:: 预测结果

• what::

• requirements:: 短期预测；

• implementation:: 预测趋势

• reference::

• exerpt::

• Moving Average

  • 当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，预测序列的长期趋势

  • （不得不说是非常无聊的方式）

  • 简单移动平均法

    • N一般取值范围是$5 \leq N \leq 200$
    • 公式：

    $$ M_t^{(1)}=\frac{1}{N}(y_t+y_{t-1}+\cdots+y_{t-N+1} $$

    • 可以取不同的N计算标准误差，以确定N的大小；标准误差公式：
    • $S = \sqrt{\frac{\sum^T_{t=N+1}(\hat{y_t}-y_t)^2}{T-N}}$
    • 只适合做近期预测，而且是趋势变化不大的情况
    • 代码：

    clc,clear
    y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1
    1102.7]; %把数据集放在这里
    
    m=length(y);
    n=[4,5]; %n 为移动平均的项数 for i=1:length(n)
    %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组 for j=1:m-n(i)+1
    yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i); end
    y12(i)=yhat{i}(end);
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2)); end
    y12,s
    

  • 加权移动平均法

    • 考虑了各期数据的重要性
    • 公式：

    $$ M_{tw}=\frac{w_1y_t+w_2y_2+\cdots +w_Ny_{t-N+1}}{w_1+w_2 + \cdots +w_N} , t \geq N $$

    • 权重是手动定的（？？？）
    • 代码：

  y=[6.356.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8];
  w=[1/6;2/6;3/6];
  m=length(y);n=3;
  for i=1:m-n+1
     yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
  end
  yhat
  err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
  T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
  y1989=yhat(end)/(1-T_err)
  

  • 趋势移动平均法

    • 当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单的移动平均法和加权移动平均法来预测会出现滞后偏差

    • 修正方法是二次移动平均，aka在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均

    • 公式：

      $$ M_t^{(2)}= \frac{1}{N}(M_t^{(1)}+\cdots +M_{t-N+1}^{(1)}) = M_{t-1}^{(2)} +\frac{1}{N}(M_t^{(1)}-M_{t-N}^{(1)}) $$

      • 直线趋势预测模型：

      $$ \hat{y_{t+T}} = a_t+b_tT, T=1,2,\cdots $$

      $a_t, b_t$ 又称平滑系数，计算公式为

      $$ a_t = 2M_t^{(1)}-M_t^{(2)} $$

      $$ b_t = \frac{2}{N-1}(m_t^{(1)}-m_t^{(2)}) $$

      clc,clear
      load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中 m1=length(y);
      n=6; %n 为移动平均的项数
      for i=1:m1-n+1
      yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n; end
      yhat1 m2=length(yhat1); for i=1:m2-n+1
      yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n; end
      yhat2
      plot(1:21,y,'*') a21=2*yhat1(end)-yhat2(end) b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1) y1986=a21+b21
      y1987=a21+2*b21